矩阵 $A^{m * n}$,向量 $x=\left[x{1}, x{2},\ldots x{n}\right]^{T}$,$y=\left[y{1}, y{2}, \ldots, y{m}\right]$
公式 1 $\quad A=\left[a{1}, a{2}, \ldots a{n}\right]$， $A x=\sum \limits {i=1}^{n} a{i} x{i}$
公式 2 $\quad A=\left[a{1}, a{2}, \ldots, a{m}\right]^{T}$, $y A=\sum \limits {i=m}^{n} y{i} x{i}$
也就是说矩阵乘以列向量等以向量中每个元素乘以对应列再相加, 行 向量乘以矩阵等于行向量每个元素分别乘以对应的行再相加
1 初等矩阵左乘, 相当于行变换
由公式 2 可以引申出来， $\mathrm{YA}=\mathrm{C}$ ，则 $\mathrm{C} $ 的第 $\mathrm{i}$ 行元素等于 $\mathrm{Y}$ 的第 $\mathrm{i}$ 行元素，按照从左到右的顺序分别乘以 $\mathrm{A}$ 中对应的列, 然后再相加。举个例 子:
$A=\left[\begin{array}{lll}1 \& 2 \& 3 \\4 \& 5 \& 6 \\7 \& 8 \& 9\end{array}\right]$
如何让 $\mathrm{A}$ 的第一行和第二行换下呢 ? 根据公式 2 的引申，则可以知道，让 $\mathrm{Y}$ 的第一行的第一列元素为 $0$ ， 第一行第二列元素为 $1$，第三行第三列元素为 $0$ ， 则可以完成 $A$ 中第二行元素跑到第一行去， 同理可以让 $A$ 中第一行 元素跑到第二行去也就是
$\begin{array}{c}Y=\left[\begin{array}{lll}0 \& 1 \& 0 \\1 \& 0 \& 0 \\0 \& 0 \& 1\end{array}\right] \\Y A=\left[\begin{array}{lll}4 \& 5 \& 6 \\1 \& 2 \& 3 \\7 \& 8 \& 9\end{array}\right]\end{array}$
2 初等矩阵右乘, 相当于列变换
由公式 1 可以引申出来，$\mathrm{AX}=\mathrm{C}$， $\mathrm{C}$ 中的第 $ \mathrm{i}$ 列的元素等于 $ \mathrm{X}$ 中第 $\mathrm{i} $ 列的元素从上到下，按照顺序㑊次乘以 $ \mathrm{A}$ 中的第 $\mathrm{i} $ 行，然后再加起来。同样举个例子
$A=\left[\begin{array}{lll}1 \& 2 \& 3 \\4 \& 5 \& 6 \\7 \& 8 \& 9\end{array}\right]$
如何做到让 $\mathrm{A}$ 的第一列和第二列交换 ? 根据公式 1 的引申很容易得到，只 要 $X$ 的第一列为 $0,1,0$ ; 第二列为 $1,0,0 $, 第三列 $0,0,1$ 即可也就是
$\begin{array}{c}X\left[\begin{array}{lll}0 \& 1 \& 0 \\1 \& 0 \& 0 \\0 \& 0 \& 1\end{array}\right] \\A X=\left[\begin{array}{lll}2 \& 1 \& 3 \\5 \& 4 \& 6 \\8 \& 7 \& 9\end{array}\right]\end{array}$
原文创作：CBlair
原文链接：https://www.cnblogs.com/BlairGrowing/p/15361970.html
