可逆矩阵

作者: CBlair

可逆矩阵

  矩阵 $A$ 为 $n$ 阶方阵,若存在 $n$ 阶矩阵 $B$,使得矩阵 $A、B$ 的乘积为单位阵,则称 $A$ 为可逆阵,$B$ 为 $A$ 的逆矩阵。若方阵的逆阵存在,则称为可逆矩阵或非奇异矩阵,且其逆矩阵唯一。

定义

  设 $P$ 是数域, $A \in P^{n \times n}$ , 若存在 $B \in P^{n \times n}$ , 使得 $A B=B A=E$, $E$ 为单位阵, 则称 $A$ 为可逆阵, $B$ 为 $A$ 的逆矩 阵, 记为 $B=A^{-1}$ 。若方阵 $A$ 的逆阵存在,则称 $A $ 为可逆矩阵或非奇异矩阵。

性质

  • 若 $A$ 为可逆矩阵,则 $A$ 的逆矩阵是唯一的。
  • 设 $ A 、 B$ 是数域 $ P$ 上的 $ n$ 阶矩阵, $ k \in P_ $
  • 若 $ A$ 可逆,则 $ A^{-1}$ 和 $ A^{T}$ 也可逆,且 $ \left(A^{-1}\right)^{-1}=A, \quad\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}$ ;
  • 若 $ A$ 可逆,则 $ k A$ 可逆 $ \Leftrightarrow k \neq 0 $,且 $ (k A)^{-1}=\frac{1}{k} A^{-1}$ ;
  • $ A 、 B$ 均可逆 $ \Leftrightarrow(A B)^=B^ A^$ 。

常用方法

(1) 判断或证明 $A$ 可逆的常用方法:

  • 证明 $ \|A\| \neq 0$ ;
  • 找一个同阶矩阵 $ B$ ,验证 $ A B=B A=E$ ;
  • 证明 $ A$ 的行向量 (或列向量) 线性无关。


(2) 求 $ A^$ 的方法:

  • 公式法: $ A^=\frac{1}{\|A\|} A^{*} $, 其中 $ A^{*} $ 为矩阵 $ A$ 的伴随矩阵。
  • 初等变换法:对 $ (A \quad E)$ 作初等变换,将 $ A$ 化为单位阵 $ E$ , 单位矩阵 $ E$ 就化为 $ A^{-1}$ 。

原文创作:CBlair

原文链接:https://www.cnblogs.com/BlairGrowing/p/15376893.html

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