1 基本的定义
正定和半正定这两个词的英文分别是 positive definite 和 positive semi-definite，其中，definite是一个形容词，表示"明确的、确定的"等意思。
定义1：给定一个大小为 $n \times n$ 的实对称矩阵 $A$ ，若对于任意长度为 $n$ 的非零向量 $\boldsymbol{x}$ 有 $ \boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x}>0$ 恒成立， 则矩阵 $A$ 是一个正定矩阵。
正定矩阵：对于 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ ，下列条件是等价的：
- $A$ 是正定矩阵；
- $A$ 的一切顺序主子式均为正；
- $A$ 的一切主子式均为正；
- $A$ 的特征值均为正；
- 存在实可逆矩阵 $C$，使 $A=C′C$；
- 存在秩为 $n$ 的 $m×n$ 实矩阵 B，使 $A=B′B$；
- 存在主对角线元素全为正的实三角矩阵 $R$，使 $A=R′R$ 。
例1：单位矩阵 $I \in \mathbb^{2 \times 2}$ 是否是正定矩阵?
解：设向量 $ \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{l}x{1} \\ x{2}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2}$ 为非零向量， 则
$\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{I} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{x}=x{1}^{2}+x{2}^{2}$
由于 $ \boldsymbol{x} \neq \mathbf{0} $，故$ \boldsymbol{x}^{T} I \boldsymbol{x}>0$ 恒成立，即单位矩阵 $ I \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 是正定矩阵。
扩展：对于任意单位矩阵 $I \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 而言，给定任意非零向量 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ ， 恒有
$\begin{array}{l} \boldsymbol{x}^{T} I \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{x} \\ =x{1}^{2}+x{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}>0 \end{array}$
例2：实对称矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}2 \& -1 \& 0 \\ -1 \& 2 \& -1 \\ 0 \& -1 \& 2\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3 \times 3} $ 是否是正定矩阵?
解：设向量 $\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{l}x{1} \\ x{2} \\ x_{3}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3}$ 为非零向量，则
$\begin{array}{l} \boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{ll} \left(2 x{1}-x{2}\right) \& \left(-x{1}+2 x{2}-x{3}\right) \& -x{2}+2 x{3} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x{1} \\ x{2} \\ x{3} \end{array}\right] \end{array}$
$ =x{1}^{2}+\left(x{1}-x{2}\right)^{2}+\left(x{2}-x{3}\right)^{2}+x{3}^{2}>0$
因此，矩阵 A 是正定矩阵。
定义2：给定一个大小为 $n \times n$ 的实对称矩阵 $A$ ， 若对于任意长度为 $n$ 的向量 $\boldsymbol{x} $， 有 $\boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x} \geq 0$ 恒成立，则矩阵 $A $ 是一个半正定矩阵。
半正定矩阵：设 A 是 n 阶实对称矩阵，则下列的条件等价：
1.$A$ 是半正定的。
2.$A$ 的所有主子式均为非负的。
3.$A$ 的特征值均为非负的。
4.存在 $n$ 阶实矩阵 $C$，使 $A=C′C$.
5.存在秩为 $r$ 的 $r×n$ 实矩阵 $B$，使 $A=B′B$.
根据正定矩阵和半正定矩阵的定义，们也会发现：半正定矩阵包括了正定矩阵
2 从二次函数到正定/半正定矩阵
们学习过二次函数 $y=a x^{2}$ ， 该函数的曲线会经过坐标原点，当参数 $a>0$ 时，曲线的 “开口” 向上，参数 $a<0$ 时，曲线的 “开口” 向下。
以 y=2 x^ 为例, 曲线如下:
实际上，们可以将 $y=\boldsymbol^{T} A \boldsymbol$ 视作 $y=a x^{2}$ 的多维表达式。
当们希望 $ y=\boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x} \geq 0$ 对于任意向量 $ \boldsymbol{x}$ 都恒成立，就要求矩阵 $ A$ 是一个半正定矩阵，对应于二次函数， $ y=a x^{2}>0$，$ \forall x $ 需要使得 $ a \geq 0 $。
另外，在 $ y=a x^{2}$ 中，们还知道：若 $ a>0$ ，则对于任意 $ x \neq 0$， 有 $ y>0$ 恒成立。 这在 $ y=\boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x}$ 也有契合之处，当矩阵 $ A$ 是正定矩阵时，对于任意 $\boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}, \quad y>0$ 恒成 立。
3 正定矩阵和半正定矩阵的直观解释
若给定任意一个正定矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 和一个非零向量 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$，则两者相乘得到的向量 $ \boldsymbol{y}=A \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 与向量 $\boldsymbol{x}$ 的夹角恒小于 $\frac{\pi}{2} $。 (等价于: $\boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x}>0$。)
例3：给定向量 $\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2}$， 对于单位矩阵 $I=\left[\begin{array}{ll}1 \& 0 \\ 0 \& 1\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2 \times 2} $， 则
$\boldsymbol{y}=I \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{l} 2 \\1 \end{array}\right]$
向量 $ \boldsymbol, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{2}$ 之间的夹角为
$\begin{array}{l} \cos \langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=\frac{\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{y}}{\\|\boldsymbol{x}\\| \cdot\\|\boldsymbol{y}\\|} \\ =\frac{2 \times 2+1 \times 1}{\sqrt{2^{2}+1^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}+1^{2}}} \\ =1 \end{array}$
即两个向量之间的夹角为 $0^$。
若给定任意一个半正定矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 和一个向量 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n} $， 则两者相乘得到的向量 $\boldsymbol{y}=A \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 与向量 $\boldsymbol{x}$ 的夹角恒小于或等于 $\frac{\pi}{2}$ . (等价于: $\boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x} \geq 0$)
例4：给定向量 $\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3}$，对于实对称矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}2 \& -1 \& 0 \\ -1 \& 2 \& -1 \\ 0 \& -1 \& 2\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3 \times 3} $ ，则
$\boldsymbol{y}=A \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right]$
向量 $ \boldsymbol, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{2}$ 之间的夹角为
$\cos \langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=\frac{\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{y}}{\\|\boldsymbol{x}\\| \cdot\\|\boldsymbol{y}\\|}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
$
原文创作：希望每天涨粉
原文链接：https://www.cnblogs.com/BlairGrowing/p/15317624.html
